Fibonacci Dizisi Nedir ?
Fibonacci dizisi, sıfır ile başlayan , ardından bir, sonra bir başkası ve ardından sürekli artan bir dizi sayıyla devam eden bir tamsayılar kümesidir (Fibonacci sayıları) . Dizi, her sayının kendisinden önceki iki sayının toplamına eşit olduğu kuralını izler.
Fibonacci dizisi aşağıdaki 14 tamsayı ile başlar:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...
Üçüncüden başlayarak her sayı, öngörülen formüle uyar. Örneğin, yedinci sayı olan 8'den önce 3 ve 5 gelir ve bunların toplamı 8'dir.
Dizi, her yeni sayı için aynı formülü kullanarak teorik olarak sonsuza kadar devam edebilir. Bazı kaynaklar, sıfır yerine bir ile başlayan Fibonacci dizisini gösterir, ancak bu oldukça nadirdir.
Fibonacci dizisinin hesaplanması
Fibonacci dizisi matematiksel olarak hesaplanabilir. Bu yaklaşımda, dizideki her sayı, F n ifadesi ile temsil edilen bir terim olarak kabul edilir . n , sıfırdan başlayarak sayının dizideki konumunu yansıtır . Örneğin, altıncı terim F5 olarak adlandırılır ve yedinci terim F6 olarak adlandırılır .
Bu numaralandırmayı kullanarak, Fibonacci dizisi aşağıdaki üç denklemle tanımlanabilir:
- F 0 = 0 (yalnızca ilk tamsayı için geçerlidir)
- F 1 = 1 (yalnızca ikinci tamsayı için geçerlidir)
- F n = F n-1 + F n-2 (diğer tüm tam sayılar için geçerlidir)
İlk iki denklem, esas olarak, birinci konumdaki terimin 0'a ve ikinci konumdaki terimin 1'e eşit olduğunu belirtmektedir. Üçüncü denklem, özyinelemeli bir formüldür, yani dizinin her sayısı, önceki sayılar kullanılarak tanımlanır. Örneğin, beşinci sayıyı (F 4 ) tanımlamak için, F 2 ve F 3 terimleri önceden tanımlanmış olmalıdır. Bu iki sayı da, kendilerinden önceki sayıların zaten tanımlanmış olmasını gerektirir. Sayılar, dizi boyunca sürekli olarak birbirinin üzerine inşa edilir.
Aşağıdaki tablo, birinci terimden başlayıp 14. terimle biten F n değeri ve Fibonacci sayısı ile birlikte her bir terimin konumunu göstermektedir.
|
Terim pozisyonu |
F n değeri |
Fibonacci sayısı |
|
1. |
F 0 |
0 |
|
2. |
F 1 |
1 |
|
3. |
F 2 |
1 |
|
4. |
F3 _ |
2 |
|
5. |
F4 _ |
3 |
|
6. |
F 5 |
5 |
|
7. |
F 6 |
8 |
|
8. |
F 7 |
13 |
|
9. |
F 8 |
21 |
|
10. |
F 9 |
34 |
|
11. |
F 10 |
55 |
|
12. |
F 11 |
89 |
|
13. |
F 12 |
144 |
|
14. |
F 13 |
233 |
Hedef terim değerinden önceki sıra numaralarını bulmak için tabloyu kullanarak formülü kendiniz deneyebilirsiniz. Örneğin, aşağıdaki hesaplama onuncu konumdaki (F 9 ) terim için Fibonacci sayısını bulur:
F 9 = F 9-1 + F 9-2 = F 8 + F 7 = 21 + 13 = 34
Özyinelemeli bir formülün zorluğu, dizideki belirli bir sayıyı hesaplamak için her zaman önceki Fibonacci sayılarını bilmeye dayanmasıdır. Örneğin, 98. ve 99. terimleri bilmeden 100. terimin değerini hesaplayamazsınız, bu da onlardan önceki tüm terimleri bilmenizi gerektirir. Bununla birlikte, Fibonacci sıra numaralarını bulmak için kapalı formda bir ifade olan Binet formülü gibi kullanılabilecek başka denklemler de vardır. Başka bir seçenek de, özyinelemeli formülün mantığını Java , Python veya PHP gibi uygulama koduna programlamak ve ardından işlemcinin işi sizin için yapmasına izin vermektir.
Fibonacci dizisinin tarihi
Fibonacci dizisi, adını 1170 ile 1250 yılları arasında yaşamış İtalyan matematikçi Leonardo Pisano'dan (Fibonacci olarak da bilinir) almıştır. Fibonacci, diziyi aşağıdaki sorunun yanıtı olarak görmüştür:
"Her ay her çift, ikinci aydan itibaren verimli hale gelen yeni bir çift doğurursa, yılda kaç çift tavşan üretilir, tek bir çiftle başlar?" Sonuç sayısal olarak 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... şeklinde ifade edilebilir.
Sanskritçe bir dilbilgisi uzmanı olan Pingala, MÖ 5. yüzyıl ile MS 2. veya 3. yüzyıl arasında, sayı dizisinden ilk kez bahseden kişi olarak kabul edilir. Fibonacci diziyi Batı uygarlığına tanıttığından beri, zaman zaman yüksek bir profile sahip olmuştur . Örneğin Da Vinci Şifresi'nde Fibonacci dizisi önemli bir ipucunun parçasıdır. Başka bir uygulama olan Fibonacci şiiri , satır başına hece sayılarının ilerlemesinin Fibonacci'nin modelini takip ettiği bir mısradır.
Fibonacci sayıları bir spirali tanımlamak için de kullanılabilir ve çeşitli doğal nesnelerde ve olaylarda sıklıkla gözlemlendikleri için biyologlar ve fizikçiler için ilgi çekicidir. Örneğin ağaçlardaki ve yapraklardaki dallanma modelleri ve bir ahudududaki tohumların dağılımı Fibonacci dizisini yansıtır.
Fibonacci dizisi genellikle , doğal dünyada sıklıkla görülen ve insan çabasının birçok alanında uygulanan bir oran olan (kabaca 1:1.6) altın oranla ilişkilendirilir. Hem Fibonacci dizisi hem de altın oran, diğer şeylerin yanı sıra mimari, web siteleri ve kullanıcı arayüzleri için tasarıma rehberlik etmek üzere kullanılır.
-
0 Yorum
-
37 Görüntülenme
